Antecedentes de la geometría

La geometría (Del griego : γεωμετρία : geo = Tierra, Metria = medida). Se plantea como el ámbito de los conocimientos relativos a las relaciones espaciales. La geometría fue unos de los dos campos antecedentes a la moderna matemática, el otro campo es el estudio de los números.

Los antecedentes de la geometría clásica se centraron en la orientación y en la correcta construcción de edificios. Ahora en los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado con un alto nivel de abstracción y complejidad, y han sido sometidos a los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas modernas ramas son apenas reconocibles como las descendientes de los principios de la geometría.

Geometria

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Los primeros grabados sobre la geometría se remontan a la época de los cavernícolas, cuando se descubrió obtusos triángulos en el antiguo Valle del Indo (Harappan), y en la antigua Babilonia alrededor del 3000 AC.

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Los principios de la geometría eran una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con las longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construcción, la astronomía, y diversas artesanías. Entre estos principios, destacan algunos sorprendentemente sofisticados, que para la matemática moderna o para un matemático le pueden resultar difícil de obtener algunos de ellos sin el uso del cálculo moderno. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios eran conscientes de las versiones del teorema de Pitágoras aproximadamente 1500 años antes que Pitágoras; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de una pirámide cuadrada; los babilonios disponían de tablas de trigonometría.




GEOMETRÍA EGIPCIA

Los antiguos egipcios conocían la forma de aproximarse al área de un círculo de la siguiente manera:

Área del círculo = [ (Diámetro) x 8/9 ]2

El problema nº 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la norma de que el área es igual al cuadrado de 8 / 9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es de 4 × (8 / 9) ² (3.160493 …), con un error de poco más de 0,63 por ciento.

Este valor es ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25 / 8 = 3,125, con un error del 0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la llegada de Arquímedes cuya aproximación fue de 211875/67441 = 3,14163, donde había un error de poco más de 1 entre 10000 ).

En el problema 48 se usaba un cuadrado de lado de 9 unidades. Esta pieza fue cortada en forma de cuadrícula de 3×3. Los cuadrados de las diagonales fueron utilizados para hacer un octógono irregular con una superficie de 63 unidades. Esto dio un segundo valor de π de 3,111 …

Los dos problemas juntos indicaron un rango de valores de Pi entre 3.11 y 3.16.

El problema 14 del Papiro de Moscú muestra un único ejemplo antiguo al encontrar el volumen de un tronco de una pirámide, describiendo la fórmula correcta:

V = 1/3 * h(X12 + X1*X2 + X22)

GEOMETRÍA BABILONIA

Los babilonios conocían las normas generales para la medición de áreas y volúmenes. Se medía la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro lo que sería correcto si π fuese estimado como valor 3. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada fue tomada incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases.

El teorema de Pitágoras era también conocido por los babilonios. Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que fue una medida de distancia igual a siete millas actuales.

GEOMETRÍA INDIA

Periodo Harappan:

Las primeras pruebas y antecedentes de la utilización de las matemáticas en el sur de Asia se encuentra en los artefactos de la civilización del Valle Indus , también llamada Harappan , durante el 3er milenio aC. Las excavaciones en Harapa, Mohenjo-Daro (en la actual Pakistán), Lothal (en la actual India) y otros lugares a lo largo del valle del río Indus han descubierto pruebas de la utilización de las matemáticas. Estos pueblos fabricaban ladrillos cuyas dimensiones eran de la proporción 4:2:1, considerado favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema normalizado de pesos sobre la base de los ratios: 1 / 20, 1 / 10, 1 / 5, 1 / 2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con la unidad peso que tiene aproximadamente 28 gramos.

Período Védico:

Los manuscritos Vedas durante el período historico védico (finales del 2 milenio y comienzos del primer milenio aC), en su mayoría contienen menciones de los números relacionados con los rituales, entre ellos potencias de 10. Con una gran influencia de Mesopotamia en la forma del sistema sexagesimal.

El Satapatha Brahmana (9 º siglo aC) contiene normas para el ritual de las construcciones geométricas que son similares a las Sulba Sutras.

El Śulba sutras (literalmente, “aforismos de los acordes” en sánscrito védico) (c. 700-400 aC) contiene una lista de las reglas para la construcción de altares de sacrificio de fuego. Los altares estaban obligados a ser de cinco capas de ladrillo quemado, con la condición adicional de que cada capa fuera de 200 ladrillos.

Según (Hayashi 2005, p. 363), el Śulba sutras contenía el teorema de Pitágoras explicado de forma breve, a pesar de que ya se había conocido en el Viejo pueblo babilonio.

Período clásico:

En los manuscritos Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos acerca de los volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito también emplea a un valor decimal con un sistema de valor o de número cero.

Dentro de la Aryabhata se incluyen el cálculo de áreas y volúmenes.

Brahmagupta escribió su trabajo astronómico Brahma Sphuṭa Siddhanta en el 628 cuyo capítulo 12 contiene 66 versos del sánscrito, este tratado se dividió en dos secciones: “Operaciones básicas” (incluidas las raíces cubo, fracciones, y el índice de proporción, y el trueque) y “prácticas de matemáticas” (incluidas series matemáticas, figuras planas, apilar ladrillos, aserrado de la madera, y la acumulación de grano). En este último punto, manifestó su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico.

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales son perpendiculares, entonces la línea trazada perpendicular desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre cortará el lado opuesto.

GEOMETRÍA CHINA

Las primeras matemáticas simples, antecedentes de las matematicas que aparecen en China pertenecen a los registros de la adivinación de la dinastía Shang (año 1600 -1050 antes de Cristo), sin embargo, el primer trabajo definitivo (o al menos más antiguo existente) sobre la geometría en China fue el Mo Jing, perteneciente a los primeros escritos del filósofo Mozi (470 aC-390 aC). Se compiló años más tarde después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 aC.

A pesar de que el Mo Jing es el libro más antiguo existente de la geometría en China, existe la posibilidad de que incluso exista material aún más antiguo. Sin embargo, debido a la infame quema de los libros durante la gobernante dinastía Qin (año 210 aC), multitudes de libros desaparecieron. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en matemáticas que son tal vez demasiado avanzados y no ha tenido un antecedente conocido al respecto.

El Mo Jing describe diversos aspectos sobre muchos campos relacionados con la ciencia y la física y proporcionó un pequeño cúmulo de información sobre las matemáticas. Al igual que Euclides, el Mo Jing dijo que “un punto puede estar en la final de una línea, o en su inicio”. Al igual que las teorías de Demócrito s, el Mo Jing dijo que un punto es la unidad más pequeña, y no puede ser reducido a la mitad, ya que ‘nada’ no puede ser reducido a la mitad. Declaró que dos líneas de igual longitud siempre terminan en el mismo lugar, la vez que proporciona definiciones para la comparación de las longitudes y los paralelos, junto con los principios de espacio y limites espaciales.

Los nueve capítulos del arte matemático:

Los nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas, es el título con el que apareció por primera vez por el año 179 dC en una inscripción de bronce, que fue editado y comentado por el matemático Liu Hui del Reino de Cao Wei. Este libro incluye muchos de los problemas que la geometría aplicaba a campos como la búsqueda de superficies para cuadrados y círculos, los volúmenes de los sólidos en tres dimensiones, e incluyó el uso del teorema de Pitágoras. El libro ilustra un diálogo entre el anterior duque de Zhou y Shang Gao sobre las propiedades del ángulo recto de los triángulos, el teorema de Pitágoras, así como las mediciones entre. Estableció como valor al número Pi 3,1555 utilizando 142/45. Liu Hui escribió también el estudio matemático para calcular la distancia entre las mediciones de profundidad, altura, anchura y superficie.

GEOMETRÍA CLÁSICA GRIEGA

Para los antiguos matemáticos griegos, la geometría era la joya de la corona de sus ciencias, llegando a una exhaustividad y una perfección de metodología que ninguna otra rama de su conocimiento había antes alcanzado. Se amplió la rama de la geometría a muchos nuevos tipos de cálculos, curvas, superficies, y sólidos, que cambió su metodología de ensayo y error a la deducción lógica, que reconoció que los estudios de geometría “eterna formas”, o abstracciones, de los cuales física los objetos son sólo aproximaciones, y desarrollaron la idea de una “teoría axiomática”, que, por más de 2000 años, se consideraba el paradigma ideal para todas las teorías científicas.

Pitágoras y Thales de Mileto

Thales (635-543 aC), de Mileto (en la actualidad en el suroeste de Turquía), fue el primero al que se le atribuye la deducción matemática.

Pitágoras (582-496 aC) de Ionia, y más tarde, Italia, y luego colonizado por los griegos, pudo haber sido un estudiante de Thales, y viajó a por Babilonia y por Egipto. El teorema que lleva su nombre puede no haber sido descubrimiento suyo, pero fue probablemente uno de los primeros en dar una prueba deductiva del mismo. Él reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor para estudiar matemáticas, música, y filosofía, y juntos descubrieron lo que la mayoría de los estudiantes de secundaria estudian hoy en día en sus cursos de geometría.

Euclides:

Euclides (c. 325-265 aC), de Alejandría, probablemente un estudiante de uno de los estudiantes de Platón, escribió un tratado en 13 libros (capítulos) , titulado “Los Elementos de Geometría”, en la que presentó la geometría de una forma ideal axiomática, que vino a ser conocida como la geometría euclidiana.

El tratado era un compendio de todo lo que los matemáticos sabían en el momento acerca de la geometría, pero era tan superior que los demás cayeron en desuso y se perdieron. Fue llevado a la universidad en Alejandría por Ptolomeo I, Rey de Egipto.

Arquímedes:

Arquímedes (287-212 aC), de Siracusa, Sicilia, cuando era una ciudad perteneciente al estado griego, es a menudo considerado el más grande de los matemáticos griegos, y, en ocasiones, incluso como uno de los tres más grandes de todos los tiempos (junto con Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss). Si no hubiera sido un matemático, seguiría siendo recordado como un gran físico, ingeniero e inventor. En su matemática, desarrolló métodos muy similares a los sistemas de coordenadas de la geometría analítica, y la limitación del proceso de cálculo integral. El único elemento del que careció en dichos campos fue una mejor cultura del álgebra en la que expresar mejor sus conceptos.